Un punto viene detto punto di accumulazione se, dato un appropiato intorno di questo punto, è possibile trovare infiniti altri punti della funzione. $$ f: A \subseteq R \mapsto R \\ \forall r \gt 0; \exists I(x_0, r) \\ f(I(x_0, r)) \text{ ha infiniti punti } $$ Condizione necessaria perchè esista un punto di accumulazione è che la funzione f originale sia a sua volta non finita.
Il punto di accumulazione può non far parte dell'immagine della soluzione.
Per esempio prendendo $ f: ]0,1] \mapsto R; f(x) = x $ possiamo vedere come dato un qualsiasi intorno di 0 noi abbiamo infiniti punti, quindi 0 è punto di accumulazione. Però 0 non fà parte dell'immagine della funziona.
Possiamo comunque notare con in questa funzione tutti i punti del dominio della funzione sono anche punti di accumulazione.
Possiamo quindi definire il concetto di limite a cui tende la funzione in un punto isolato $$ f: A \mapsto R \\ x_0 \text{ punto di accumulazione} \\ \lim_{x \to x_0}f = L \text{ se}\\ \forall \epsilon \gt 0; \exists \delta_\epsilon;\\ \exists x \in (A \setminus \{x_0\}) \cap I(x_0, \delta_\epsilon) \\ |f(x) - L| \lt \epsilon $$ Quinidi dato un punto isolato, scelto un $\epsilon$ arbitrario possiamo trovare un intorno centrato in quel punto i cui tutti i punti si discostino dal limite $L$ meno di questo $\epsilon$ arbitrario
Data questa definizione di limite possiamo definire il concetto di continuità della funzione in un punto.
$$
f: A \mapsto R \\
x_0 \text{ punto di accumulazione} \\
f \text{ è continua in $x_0$ se} \\
\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)
$$
Quindi una funzione è continua in un punto se in quel punto il limite esiste e coincide con il valore della funzione nel punto stesso.
In [10]:
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0., 1.9, 1000)
y = np.sqrt(np.floor(x))
plt.axis((0, 2,0, 2))
plt.plot(x, y)
Out[10]:
Andando ad analizzare questa funzione nel punto 1 notiamo che in quel punto il limite non esiste.
Quindi in quel punto la funzione non è continua.